Esquema de un mapa de las disciplinas matemáticas

Gustavo Bueno en 1978 y 1979 establece un criterio de demarcación gnoseológico para distinguir la Lógica formal de las Matemáticas.

El diccionario de Pelayo subraya muy bien el alcance de esta distinción:

"Son características aspectuales de las operaciones.

Operaciones autoformantes: incluyen la reproducción o re-generación de al menos uno de los términos operados [218].

Operaciones heteroformantes: no poseen tal característica.

Distinguimos tres modos en los cursos operatorios autoformantes:

1. El modo de autoformación modular (por ejemplo: a · 1 = a; a + 0 = a). La idempotencia es un aspecto autoformante de tipo modular.
    
2. El modo de autoformación absorbente (a · 0 = 0).
    
3. El modo de autoformación involutiva [– (–p) = p]. Cabría reducir la idempotencia a un caso de involución autoformante:
   X · X = X · X + ∅ = X · X + X · X' = X (X+X') = X · 1 = X

La distinción entre operaciones autoformantes y heteroformantes ha sido propuesta como criterio para establecer una línea de demarcación entre la Lógica y la Matemática."

Ahora bien, este criterio no basta para construir un mapa de las disciplinas matemáticas, lo que no quiere decir que desde la obra de Bueno no haya instrumentos para poder hacer esa labor. Pues bien, en lo que sigue se ofrece un esquema para fundamentar ese mapa; esquema que, por otra parte, tendrá en su mismo desarrollo la medida de su alcance y su pertinencia, si es que tiene alguna.

Ante todo, hay que dejar claro que, para Gustavo Bueno, las disciplinas matemáticas son anómalas (más que análogas o unívocas); lo que, a mi entender significa que la unidad de las Matemáticas es más aparente que real, y se fundamenta solo en los aspectos heteroformantes de sus operaciones propias (que no excluye totalmente las autoformantes). A la hora de determinar las morfologías de las propias disciplinas matemáticas vemos que divergen y configuran campos (¿ciencias?) propios.

El hilo conductor que se propone es el siguiente: tomar las identidades (sintéticas) que se dan en toda disciplina matemática como criterio de demarcación entre las categorías (anómalas) matemáticas. Estas identidades, a su vez, se podrían analizar desde esquemas noetólogicos, como hace Gustavo Bueno en Poemas y teoremas analizando un teorema de Euclides (el I,1), que es un problema, más que un teorema, aunque esto no obsta para que los teoremas se puedan analizar con el esquema noetológico.

Se pueden distinguir, entre otros, los siguientes tipos de identidades (que habrán de irse desarrollando y ajustando, pero valga como esbozo lo siguiente):

1) Identidades aritméticas. Un teorema que coordina otros muchos sería el Fundamental de la Aritmética: "Cualquier número entero se puede descomponer en producto de primos de manera única, salvo el orden los factores".

2) Identidades algebraicas. El teorema fundamental del Álgebra coordina todos los polinomios, al hacer posible la descomposición factorizada de todos los polinomios en monomios de grado uno. Nótese el isomorfismo entre los enteros y sus teoremas (traídos de la división euclídea) y los teoremas propios del Álgebra.

3) Identidades geométricas. Como canon tenemos la Geometría de Euclides (geometría de congruencias). El teorema de Pitágoras puede servir como coordinador e hilo conductor de todo el libro I de los Elementos. Estas identidades se caracterizan porque necesitan ideogramas, figuras geométricas para su construcción, algo que las distingue de las identidades 1), 2) y 4).

4) Ad-igualdades. Son las identidades donde aparecen figuras procesuales de la dialéctica (metábasis, catábasis, anástasis y catábasis). Estas identidades son las que posibilitan el Cálculo Infinitesimal y, a partir de él, todas las ciencias físico-químicas que se construyen a partir del Siglo XVII. Cabe decir que ya hay ad-igualdades en la escuela de Platón (Eudoxio) que recoge Euclides (libro X) y que usa también Arquímedes. La potencia de las ad-igualdades viene sobre todo a partir del teorema fundamental del Cálculo, que vincula las derivadas con las integrales y que permite la explosión científica de los últimos siglos. La labor de "aritmetización del Análisis" llevada a cabo por Cauchy, Cantor, Dedekind o Weierstrass depende de este tipo de identidades.