¿La Geometría de Euclides es una ciencia en sentido estricto? Las operaciones con la prosa gráfica de los Elementos como prototipo de la racionalidad científica

Introducción:

Los Elementos de Euclides constituyen, para Gustavo Bueno, el prototipo de racionalidad científica (cerrada y soberana); y las debilidades que algunos autores (Hilbert, Klein o Puig Adam, entre otros) atribuyen al sistema de Euclides son aparentes, tal es la tesis de este breve ensayo. Ninguno de estos autores habría dado con la esencia de la geometría euclidiana: la prosa gráfica en la que consisten los Elementos (y que suponemos que sí habría encontrado Gustavo Bueno{1}). Por ejemplo, Hilbert mira los Elementos desde su axiomática formalista, evacuando la semántica de los grafos euclidianos.

Este trabajo se divide en dos partes. La primera intenta fundamentar la perspectiva de Bueno de las Matemáticas como ciencias de grafos y se propone una definición de grafo euclidiano. De esta manera se verá que la perspectiva de Bueno es distinta de la de otros filósofos de la ciencia o de otros constructores de geometrías modernas, como Klein, Hilbert o Puig Adam, pues ninguno de estos entenderá que la clave de las Matemáticas esté en la prosa gráfica, en su Noetología, en los diagramas o en las operaciones heteroformantes. Este modo de entender las Matemáticas que tiene Bueno permitirá resolver las aparentes debilidades que los comentaristas han solido atribuir a Euclides. Y a esto se dedicará la segunda parte.

Más en concreto, la segunda parte tiene como objeto mostrar, con algunos ejemplos escogidos, que la geometría de Euclides se construye con fundamentos gnoseológicos sólidos, y que las debilidades que se han visto tradicionalmente en los Elementos son aparentes. Se escogen estos ejemplos y no otros porque son las críticas más habituales vertidas sobre los Elementos. En particular, se verá, primero, que tiene sentido gnoseológico preciso distinguir, como hace Euclides, entre definiciones, postulados y axiomas; y que no es oportuno reducirlo todo a definiciones y axiomas, como hace Hilbert (en su famosa obra Fundamentos de Geometría), eliminando los postulados, al no entender éste su sentido gnoseológico. A continuación, se estudia el caso de la supuesta necesidad de una teoría análoga a la de la continuidad de los números reales: comentaristas como Hilbert o Puig Adam así lo sostienen, pero se verá que esta cuestión también se resuelve “a favor” de Euclides si se atiende a la prosa (a la tinta) de los grafos. Seguidamente, en tercer lugar, se trata la paradoja de Ball, que no se aborda en profundidad, pero que se menciona para reforzar la tesis de que los diagramas euclidianos son imprescindibles y no accesorios. Y, por último, en cuarto lugar, se aborda la famosa cuestión del quinto postulado del libro I, cuya negación ha dado paso a la construcción de las geometrías no euclidianas; en este trabajo se introduce otra novedad, que es intentar entender el postulado euclídeo desde las Figuras de la Dialéctica de Bueno, y dotarlo así de sentido gnoseológico preciso.

En el Final se recogen las conclusiones principales y se dejan líneas de trabajo posibles, dado el lugar privilegiado que, gnoseológica y noetológicamente, tienen los Elementos que cristalizaron en Euclides.

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https://nodulo.org/ec/2021/n195p01.htm#kp2